Enigme du café et du lait

Kiwi,
Il n’y a qu’Ergamer38, qui a dit avec moi que c’était faux.

Mais je réalise que mes démonstrations sont trop compliquées, (lorsqu’écrites avec l’éditeur à disposition).

Il faudrait un dessin… je sais pas trop comment faire, avec cet éditeur, mais je vais essayer…
Symbolisons les particules de café par des “X”, et celle de lait avec “_”, dans des conteneurs (tasses) [ ], en contenant 6 au DÉBUT (je choisi 6, pour simplifier les représentation qui suivent, aussi pour le prélèvement):
Tasse de café: [X X X X X X]; tasse de lait: [_ _ _ _ _ _], (il y a donc 6 de chaque, avant mélange).

-Admettons que l’on prenne une cuillère de 3 particules de lait selon votre première prélèvement: [_ _ _] (c’est un nombre ma fois particulier par rapport à 6, puisque c’est la moitié, mais c’est mon seul moyen de représenter “en dessin”, avec des symboles entiers);
la tasse de lait n’a plus que 3 particules:
[_ _ _], et celle de café a 9 particules (avec une représentation simplifiée):
[X X X X X X _ _ _], qui donne, une fois bien mélangée:
[X X _ X X _ X X _], ou, mieux mélangée:
[X _ X X _ X X _ X], (on voit qu’on a 2 X pour 1 _).

Ca, c’était le 1er mélange après 1er transfert.

-Transfert 2 maintenant:
On prélève de nouveau 3 particules (en partant du principe que celles de café et celles de lait occupent les mêmes volumes), donc le prélèvement 2 donne: [X _ X].

La tasse da café dans son stade final, donne:
[X _ X X _ X], (toujours 2 X pour 1 _, puisqu’elle est mélangée, et qu’elle le reste).

-On ré-introduit donc le transfert [X _ X] dans la tasse de lait, tasse qui était (juste après prélèvement 1) :
[_ _ _],
donc plus [X _ X], ça donne comme mélange final dans la tasse de lait:
[_ _ _ X _ X], ou, mieux mélangé:
[_ X _ _ X _].

On voit qu’on a donc 4 _ pour 2 X dans la tasse de lait finale.

-Mais regardons plus haut le mélange qu’était devenue notre tasse de café!

La tasse de café a 2 particules de lait pour 4 de café.
Mais la tasse de lait a 2 particules de café pour 4 de lait.

Kiwi a donc raison. Mais cela concerne un cas particulier, où le transfert est moitié des tasses.
—————
-Essayons maintenant avec un transfert d’un tiers; mettons: des tasse de 9 et toujours un transfert de 3:
Café initial:
[9X]
Lait initial:
[9L]
transfert 1: [3L]

Lait 2:
[6 L],
Café 2:
[9X + 3L]

transfert 2, (on est obligé de passer par les fractions); avec 3 élément sur 12 du mélange (“Café 2”), on retire 1 quart de chaque partie:
le transfert 2 vaut donc
[9/4 X + 3/4 L]

Café 3 vaut donc:
[(9 – 9/4 X) + (3 – 3/4) L] =
[((36 – 9)/4 X) + ((12 – 3)/4) L] =
[(27/4)X + (9/4) L]

Lait 3 vaut:
[6L + 3/4 L + 9/4 X] =
[(24 + 3)/4 L + 9/4 X] =
[27/4 L + 9/4 X].

Kiwi a donc raison: il y a autant de café dans le lait que de lait dans le café. Je comprends pas comment mon intuition chimique m’a trompé, (et continue à le faire)… Sur le plan intuitif, je ne comprends pas.

En plus, j’ai oublié de remettre mon facteur 2 pour ma solution la plus particulière:
À concentrations initiales égales, et à volume de transfert égal au volume de tasse, on aurait:

C(TasseL, T2) = N(0)/[2*V(0)], donc chacune des concentrations initiales aurait – au “meilleur” des cas – été diminuée par deux,

…car: les substances ne sont pas les mêmes!

Oui, à concentrations initiales égales.
-Il y a plus de lait dans le café que de café dans le lait… si les concentrations initiales des deux substances (considérées chacune comme somme des concentrations de leurs composants), étaient égales entre elles (ce que le problème n’explique, ni n’infirme).
Raisonnement :
Lorsque l’on transfère le lait dans le café la 1ère fois, la dose quitte son lait, pur aussi, en concentration maximale possible, multipliée par le volume de transfert qui peut aller jusqu’à la tasse entière (il n’est pas dit que la cuillère n’était pas aussi grande (ou plus) que la tasse), qui donne un nombre de particules, qui peut être maximal pour le lait.
-Lorsque cette dose est ajoutée au café, elle se dilue, mais le café aussi (on évite à ce stade de faire un jugement sur une « petite dose de lait ajoutée dans beaucoup de café », car c’est pas nécessairement ça, au cas où le volume de la dose est grand ou selon les concentrations). Dans le cas où les concentrations initiales du café, et du lait, seraient quantitativement égales, il y a alors bien-sûr moins de lait que de café (en absolu) dans cette tasse à ce moment ; mais, les 2 se trouvent dilués par l’augmentation globale de volume, qui lui-même est la somme des volumes de tasse avec dose.
-Ayant bien mélangé, on reprend une dose depuis cette tasse. Au lieu de contenir sa dose précédente de lait, elle en a moins, et elle a gagné comparativement du café. SI les concentrations initiales de café et de lait sont quantitativement égales, on prend alors plus de café que de lait.
-On ajoute cela à la tasse de lait. Le lait a initialement perdu une grande dose, puisque le lait retiré était pur, alors qu’il revient très dilué (en même volume). De son côté, le café a été très peu dilué, mais a reçu du lait pur.
Il y a donc plus de lait dans le café que de café dans le lait.

Quantitativement :

Il faut déterminer les volumes initiaux des 2 tasses, celui du transfert, les volumes intermédiaires, et finals, mais aussi les nombres de particules dissoutes, en 2 cas aussi. On suppose que le phénomène de mélange ne modifie pas les sommes de volumes, par aucune interaction chimique.
On pose :
Volumes initiaux de café et de lait :
V(C, 0) = V(0) = V(L, 0)
-Volume de transfert : v
Volume de lait après sous-tirement :
V(L, T1) = V(0) – v.
Volume café mélangé, une fois qu’on en reprend un dose :
V(TasseC, T2) = V(0)
Et pareil pour le lait.

Alors, au temps 0 :
Quantités de matière :
N(C, 0)
N(L, 0)
Concentrations :
C(C, 0) = [N(C, 0)/V(0)]
C(L, 0) = [N(L0)/V(0)]

Au temps T1 (transfert du lait, au café) :
-Retrait du lait de sa tasse :
Evidemment :
C(L, T1) = C(L, 0)
puisqu’on n’a pas agi au sein de la composition du lait, par un transfert de mélange, mais que l’on a juste retiré un certain volume.
N(TasseL, T1) = N(L, 0) – N(L, 0)*v/V(0)
= N(L, 0)*[1-v/V(0)]
(Avec v/V0 < 1, accessoirement).

-Réception du lait dans la tasse de café :
N(TasseC, T1) = N(C, 0) + N(L, 0)*v/V(0)

C(TasseC, T1) = N(TasseC, T1)/[V(0) + v]
= [N(C, 0) + N(L, 0)*v/V(0)]/[V(0) + v]

Transfert 1 :
-volume : v, toujours ;
-concentration :
C(L, 0)

-quantité de particules :
N(T, T1) = C(L, 0)*v

-Au temps T2 (transfert de la tasse de café à celle de lait) :
N(T, T2) = C(TasseC, T1)*v

-perte depuis tasse de café (mélangé) :
N(TasseC, T2) = N(TasseC, T1) – N(T, T2)
C(TasseC, T2) = [N(TasseC ; T1) – N(T, T2)]/V(0)

-ajout dans tasse de lait (très mélangée) :
N(TasseL, T2) = N(TasseL, T1) + N(T, T2)

Finallement, on a la relation de la tasse de lait mélangé, par rapport au mélange de la tasse de café, lui-même en relation aux données initiales :
C(TasseL, T2) = N(TasseL, T1) + N(T, T2)
= {N(L, 0)*[1 – v/V(0)] + [N(C, 0) + N(L, 0)*v/V(0)]*v/[V(0)+v]}/V(0)

-résultat que l’on peut vérifier avec des valeurs particulières ; par exemple, comme le problème ne le précise pas, si on a des concentrations initiales égales, le résultat final est alors égal à :
C(TasseL, T2) = {N(0)*[1 – v/V(0)] + N(0)*[1 + v/V(0)]*v/[V(0)+v]}/V(0)

Si ce sont les volumes qui sont egaux :
C(TasseL, T2) = [N(C, 0) + N(L, 0)]/2*V(0)

-Et si on a les deux contraintes, on obtient, évidemment :
C(TasseL, T2) = N(0)/V(0)